\section{矩阵相似的条件}

\begin{frame}{用特征矩阵刻画数字矩阵相似}

  在求数字矩阵 $ A$ 的特征值和特征向量时曾出现过 $\lambda$-矩阵 $\lambda  E- A$, 
  我们称它为 $ A$的\emph{特征矩阵}。这一节的主要结果是证明
  两个 $n \times n$ 数字矩阵 $ A$ 和 $ B$ 相似的充分必要条件是
  它们的特征矩阵 $\lambda  E- A$ 和 $\lambda  E- B$ 等价。

\begin{theorem}\label{191}
  设 $ A,  B\in P^{n\times n}$.  $ A$ 与 $ B$ 相似的充要条件是
  它们的特征矩阵 $\lambda  E- A$ 和 $\lambda  E- B$ 等价。
\end{theorem}

\pause
矩阵 $ A$ 的特征矩阵 $\lambda  E- A$ 的不变因子以后就简称为 \emph{$ A$ 的不变因子}。 
\pause
因为两个 $\lambda$-矩阵等价的充分必要条件是它们有相同的不变因子，所以由上述定理即得

\begin{corollary}\label{18B}
矩阵 $ A$ 与 $ B$ 相似的充要条件是它们有相同的不变因子。
\end{corollary}

\pause
应该指出， $n \times n$ 矩阵的特征矩阵的秩一定是 $n$. 因此， $n \times n$ 矩阵的不变因子总是有 $n$
个， 并且， 它们的乘积就等于这个矩阵的特征多项式。

\pause
以上结果说明，不变因子是矩阵的相似不变量， 因此我们可以把一个线性变换的任一矩阵的不变因子 (它们与该矩阵的选取无关) 定义为此\emph{线性变换的不变因子}。

在证明定理~\ref{191}~前，我们再来看一些它的应用。
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{corollary}
  设有数域的包含$P_1\subset P_2$. 令$A, B\in P_1^{n\times n}$. 
  那么$A, B$在$P_1$上相似当且仅当$A, B$在$P_2$上相似。
  也就是说，相似关系在域扩张后也能反映出来。
\end{corollary}

\begin{proof}
  由于首一最大公因子在域扩张下不变，
  特征矩阵的行列式因子在域扩张下不变，从而不变因子也是如此。
  故而，$A, B$在$P_2$上相似当且仅当它们的特征矩阵$\lambda E-A$与$\lambda E-B$有相同的不变因子组，
  当且仅当$A, B$在$P_1$上相似。
\end{proof}

\begin{example}
\begin{enumerate}
  \item 令$A(\lambda)\in P[\lambda]^{n\times n}$, 那么$A(\lambda)$与$A(\lambda)^{\rT}$等价。
    诚然，存在可逆矩阵$P(\lambda), Q(\lambda)$使得
      \[
        P(\lambda)A(\lambda) Q(\lambda) = \diag(d_1(\lambda),\cdots, d_r(\lambda), 0,\cdots, 0),
      \]
      其中右边的方阵是$A(\lambda)$的标准形。
      从而
      \[
        Q(\lambda)^{\rT}A(\lambda)^{\rT} P(\lambda)^{\rT} = \diag(d_1(\lambda),\cdots, d_r(\lambda), 0,\cdots, 0).
      \]
      因此$A(\lambda)^{\rT}$与$A(\lambda)$有相同的标准形，
      这样$A(\lambda)$与$A(\lambda)^{\rT}$等价。
    \item 令$A\in P^{n\times n}$, 那么$A$与$A^{\rT}$相似。
诚然，由(1) 知 $\lambda E-A$与$\lambda E-A^{\rT}=(\lambda E-A)^{\rT}$等价，
  因此由定理~\ref{191}~知$A$与$A^{\rT}$相似。
  \end{enumerate}
\end{example}

\end{frame}

\begin{frame}
  本节剩下的部分就是证明定理~\ref{191}。
  \cite[\S7.7]{ZX98} 中包含了一个不同的证明（借助对以矩阵为系数的$\lambda$的多项式赋值）。

\pause

  \begin{lemma}\label{192}
  如果存在 $n \times n$ 数字矩阵 $ P_{0},  Q_{0}$ 使得
  \[
  \lambda  E- A= P_{0}(\lambda  E- B) Q_{0},
\]
则 $ A$ 与 $ B$ 相似。
\end{lemma}

\begin{proof}
因 $ P_{0}(\lambda  E- B) Q_{0}=\lambda  P_{0} Q_{0}- P_{0}  B Q_{0}$, 它又与 $\lambda  E- A$ 相等， 进行比较后应有 $ P_{0}  Q_{0}= E,  P_{0}  B Q_{0}= A$. 由此 $Q_{0}= P_{0}^{-1}$,而 $ A= P_{0}  B  P_{0}^{-1}$. 故 $ A$ 与 $ B$ 相似。 
\end{proof}


\begin{lemma}\label{193}
对于任何不为零的 $n \times n$ 数字矩阵 $ A$ 和 $\lambda$-矩阵 $ U(\lambda)$ 与 $ V(\lambda)$, 一定存在 $\lambda$-矩阵 $ Q(\lambda)$ 与 $ R(\lambda)$ 以及数字矩阵 $ U_{0}$ 和 $ V_{0}$, 使得
  \begin{align*}
    &  U(\lambda)=(\lambda  E- A)  Q(\lambda)+ U_{0}, \tag{2}\\
    &  V(\lambda)= R(\lambda)(\lambda  E- A)+ V_{0} . \tag{3}
\end{align*}
\end{lemma}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{proof}
  把 $U(\lambda)$ 改写成矩阵多项式
  \[
   U(\lambda)= D_{0} \lambda^{m}+ D_{1} \lambda^{m-1}+\cdots+ D_{m-1} \lambda+ D_{m},
\]
其中 $ D_{0},  D_{1}, \cdots,  D_{m}$ 都是 $n \times n$ 数字矩阵， 而且 $ D_{0} \neq  O$. 如 $m=0$, 则令 $ Q(\lambda)= O$ 及 $ U_{0}=$ $D_{0}$, 它们显然满足引理~\ref{193} 要求。
设 $m>0$, 令
\[
 Q(\lambda)= Q_{0} \lambda^{m-1}+ Q_{1} \lambda^{m-2}+\cdots+Q_{m-2} \lambda+ Q_{m-1},
\]
其中 $Q_{j}$ 都是待定的数字矩阵。 于是
  \begin{align*}
     (\lambda  E- A)  Q(\lambda) &
  =  Q_{0} \lambda^{m}+\left(Q_{1}- A Q_{0}\right) \lambda^{m-1}+\cdots\\
  &\hspace{1.3em} +\left(Q_{k}-A Q_{k-1}\right) \lambda^{m-k}+\cdots+\left(Q_{m-1}-A Q_{m-2}\right) \lambda-A Q_{m-1} .
\end{align*}
要想使 (2) 式成立， 只需取
{\small
\[
  \begin{aligned}
    Q_{0} & =D_{0}, \\
  Q_{1} & =D_{1}+ A Q_{0}, \\
%Q_{2} & =D_{2}+ A Q_{1}, \\
& \vdots \\
Q_{k} & =D_{k}+ A Q_{k-1}, \\
& \vdots \\
Q_{m-1} & =D_{m-1}+ A Q_{m-2},\\
 U_{0}&=  D_{m}+ A  Q_{m-1}
\end{aligned}
\]
}
就行了。 用完全相同的办法可以求得 $ R(\lambda)$ 和 $ V_{0}$. 引理证毕。 
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}

  \begin{proof*}[定理~\ref{191}~的证明]
    由推论~\ref{19B}~知道 $\lambda E-A$ 与 $\lambda E-B$ 等价就是有可逆的 $\lambda$-矩阵 $U(\lambda)$ 和 $V(\lambda)$, 使
    \[\tag{4}
  \lambda E-A=U(\lambda)(\lambda E-B) V(\lambda) .
\]

先证必要性。 设 $ A$ 与 $ B$ 相似，即有可逆矩阵 $ T$, 使
\[
A=T^{-1} B T .
\]
于是
\[
\lambda  E- A=\lambda  E- T^{-1}  B  T= T^{-1}(\lambda  E- B)  T,
\]
从而 $\lambda E-A$ 与 $\lambda E-B$ 等价。

再证充分性。 设 $\lambda  E- A$ 与 $\lambda E- B$ 等价， 即有可逆的 $\lambda$-矩阵 $ U(\lambda),  V(\lambda)$ 使 (4) 成立。用引理~\ref{193}, 存在 $\lambda$-矩阵 $Q(\lambda)$ 和 $ R(\lambda)$ 以及数字矩阵 $ U_{0}$ 和 $ V_{0}$, 使
  \begin{align*}
     U(\lambda)&= (\lambda  E- A)  Q(\lambda)+ U_{0} \tag{5}\\
     V(\lambda)&=  R(\lambda)(\lambda  E- A)+ V_{0} \tag{6}
\end{align*}
成立。
把 (4) 改写成
\[
 U(\lambda)^{-1}(\lambda  E- A)=(\lambda  E- B)  V(\lambda),
\]
式中的 $ V(\lambda)$ 用 (6) 代入，再移项，得
\end{proof*}

\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{proof*}[定理~\ref{191}~的证明 (续)]
\[
\left[ U(\lambda)^{-1}-(\lambda  E- B)  R(\lambda)\right](\lambda  E- A)=(\lambda E- B)  V_{0} .
\]
    右端次数 (见 203 页脚注) 等于 $1$ 或 $V_{0}= O$, 因此 $ U(\lambda)^{-1}-(\lambda  E- B)  R(\lambda)$ 是一个数字矩阵 (后一情形下应是零矩阵), 记作 $T$, 即
\[\tag{7}
  \begin{gathered}
     T= U(\lambda)^{-1}-(\lambda  E- B)  R(\lambda), \\
   T(\lambda  E- A)=(\lambda  E- B)  V_{0} .
\end{gathered}
\]
现在我们来证明 $T$ 是可逆的。由 (7) 的第一式有
\[
  \begin{aligned}
     E & = U(\lambda)  T+ U(\lambda)(\lambda  E- B)  R(\lambda) \\
  & = U(\lambda)  T+(\lambda  E- A)  V(\lambda)^{-1}  R(\lambda) \\
& =\left[(\lambda  E- A) Q(\lambda)+ U_{0}\right] T+(\lambda  E-A)  V(\lambda)^{-1}  R(\lambda) \\
& = U_{0}  T+(\lambda  E- A)\left[Q(\lambda)  T+ V(\lambda)^{-1}  R(\lambda)\right],
\end{aligned}
\]
等式右端的第二项必须为零， 否则它的次数至少是 $1$, 由于 $ E$ 和 $U_{0} T$ 都是数字矩阵，等式不可能成立。因此
$
E=U_{0} T,
$
这就是说， $ T$ 是可逆的。由 (7) 的第二式得
\[
\lambda  E- A= T^{-1}(\lambda  E- B)  V_{0} .
\]
再用引理~\ref{192}, $ A$ 与 $ B$ 相似。 
  \end{proof*}
\end{frame}

\begin{frame}{小结}
  
\end{frame}
